Définition de ln(a) pour a > 0

Propriété

Soit $a$  un réel strictement positif.
L'équation ${\text{e}}^x=a$   admet  une unique solution sur $\mathbb{R}$ .

Démonstration

Soit $a$  un réel strictement positif.

• La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
  
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\text{e}}^x=0$  et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\text{e}}^x=+\mathrm{\infty }$  donc $a\in ]\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\text{e}}^x;\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\text{e}}^x[$ .
  

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation ${\text{e}}^x=a$  possède une unique solution sur $\mathbb{R}$ .

Définition

Soit $a$  un réel strictement positif.
L'unique solution de l'équation  ${\text{e}}^x=a$ est appelée logarithme népérien de $\mathit{a}$  et est notée $\mathbf{ln}\mathbf{}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{)}$ .

Exemples

• $\ln (1)$  est la solution de l'équation ${\text{e}}^x=1$  et ${\text{e}}^0=1$  donc $\boxed{{\displaystyle \mathbf{ln}\mathbf{}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{0}}}$ .
  
• $\ln (\text{e})$  est la solution de l'équation ${\text{e}}^x=\text{e}$  et ${\text{e}}^1=\text{e}$  donc $\boxed{{\displaystyle \mathbf{ln}\mathbf{}\mathbf{(}\text{e}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{1}}}$ .
  
• L'équation  ${\text{e}}^x=3$  admet une unique solution sur $\mathbb{R}$ . Cette solution est notée $\ln (3)$ .
  La calculatrice donne une valeur approchée de $\ln (3)$ .
  $\ln (3)\approx \mathrm{1,099}$ .
  

Remarque

La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb{R}$ , l'équation ${\text{e}}^x=a$  n'admet pas de solution réelle pour $a⩽0$ .